NAO-LINEARIDADES: DA DINAMICA DO SIMPLES A DINAMICA DO COMPLEXO

Jose Roberto Castilho PIQUElRA[1]

• RESUMO: Foram apresentados alguns conceitos relativos a utilizaC;80 da Teoria dos Sistemas Dinami cos em problemas de sistemas complexos. A apresentac;ao destes conceitos centra-se no estabeleci mento de duas dinamicas : uma de curto termo e outra de longo termo, relacionando-as com os processos de organizaC;8o dos sistemas .

• PALAVRAS-CHAVE : Caos ; sistemas dinamicos ; superposiC;80 ; nao- linearidades; bifurcac;ao ; irrever sibiJidade; complexidade.

o mundo cientifico produz, atualmente, aquilo que parece ser a busca de urn novo paradigma universalista para a ciencia. A descoberta de comportamentos caoticos, a formulac;ao da Geometria fractal e a descric;ao de fenomenos auto-organi zados apontam para a integrac;ao mais efetiva das ciencias relativas aos niveis de organizac;ao superiores com as relativas aos niveis de organizac;ao inferiores .

A Sociologia e a Psicologia dos individuos e seus grupos, a Biologia das celulas , tecidos, orgaos , sistemas , individuos e populac;6es integram-se, cada vez mais, a Fisica e a Quimica dos atomos e moleculas .

Essa integrac;ao, ja sonhada por pensadores do porte de Laplace, Newton, Leibniz, Kant e muitos outros , esteve inviabilizada ate finais do seculo XIX devido, principalmente, ao estilo de produzir a Fisica proprio daquela epoca. Fundamentada totalmente na Medlnica Classica e embebida pelo determinismo, a Fisica, embora proporcionasse boas soluc;6es para problemas de equacionamento de movimentos de corpos macroscopicos, falhava ao tentar modelar outros problemas .

Os niveis de organizac;ao superiores da Biologia, Psicologia e Sociologia resul tavam da interac;ao de uma grande quantidade de sistemas complexos interligados, com forte sensibilidade a perturbac;6es e uma grande riqueza de comportamentos possiveis .

Nao havia, portanto, como modelar  esses  problemas pela bem- comportada MecEmica, que nao previa espago para indeterminagoes ou comportamentos compli cados.

Entretanto, dois fatos datados do final do seculo XIX e do infcio do seculo XX alteraram esse panorama : a formulagao da Mecanica Quantica, responsavel por uma tentativa de modelagem probabilistica do mundo microsc6pico e a conjectura, feita por Poincare, de que sistemas mecanicos modelados por equagoes deterministicas podem apresentar, devido as nao-linearidades, comportamentos complicados e sen siveis as condigoes iniciais.

Este artigo trabalha com a segunda descoberta:  0 que  sao linearidades e nao-linearidades ; qual 0 impacto das nao-linearidades no desenvolvimento da Teoria dos Sistemas Dinamicos ; e como essa moderna Teoria esta sendo aplicada a casos complexos.

Finalmente, uma visao critica gerara uma sugestao de linha de trabalho pela conexao dos conceitos de Bifurcagao e de Organizagao.

Sistemas dinamicos

o conceito de Sistemas Dinamicos e uma extensao natural do estudo dos movimentos na Mecanica Classica, que apresenta 0 estado dos corpos  em cada instante por meio de grandezas que sao, essencialmente, posigoes e velocidades .

Essas variaveis se relacionam atraves das equagoes dadas pelas Leis de Newton. Quanto mais complexo 0 sistema, maior 0 numero de grandezas e equagoes neces sarias para descreve-Io.

Generalizando, pode-se dizer que u rn Sistema Dinamico e todo aquele cuja evolugao temporal e descrita por urn certo numero de grandezas fisicas relacionadas por equagoes provenientes de modelos.

Esse e urn conceito amplo, aplicavel a uma gama de problemas que vai desde sistemas fisicos simples, como 0 pendulo, exaustivamente estudados, ate sistemas biol6gicos complexos, como uma rede de neuronios, proporcionando aqueles uma nova ferramenta de trabalho que, em alguns casos, ja se mostrou uti! e promissora.

Os Sistemas Dinamicos assim definidos sao ditos lineares quando as equagoes de seus modelos satisfazem 0 chamado Principio da Superposigao : 0 comportamento do sistema como urn todo e refletido pela soma dos comportamentos de suas partes . Assim, 0 efeito das variagoes produzidas em suas grandezas fisicas , individual mente, equivale ao efeito que seria produzido pela soma dessas variagoes individuais no sistema global.

Sistemas Dinamicos que podem ser considerados lineares tern grande importan cia em diversos ramos da Engenharia, tern sido exaustivamente estudados e sua teoria tern sido considerada fechada.

Nas ciencias mais complexas,  essa superposH;ao e,  evidentemente, pouco comum. A possibilidade de inclusao de nao linearidades, indubitavelmente, torna extremamente atraente 0 usa de ferramentas de Sistemas Dinamicos; quando isso ocorre, efeitos bastante interessantes acontecem, variando desde comportamentos descritiveis por oscilac;6es auto-sustentadas isoladas ate os chamados comportamen tos ca6ticos , resultantes da extrema sensibilidade as condic;6es iniciais , ligada as nao-linearidades.

Nao-linearidades em Sistemas Dinamicos

Impulsionada pela Mecanica Celeste, Mecanica dos Fluidos e pela perspectiva de aplicac;ao em Biologia, Psicologia, Sociologia e Economia, a Teoria dos Sistemas Dinamicos nao-lineares teve grande desenvolvimento .

A grande dificuldade na obtenc;ao de soluc;6es explicitas de equac;6es com nao-linearidades colocou matematicos e fisicos no caminho das chamadas Teorias Qualitativas de Sistemas Dinamicos.

Esse enfoque consiste em procurar obter visualizac;6es globais de familias de soluc;6es das equac;6es que descrevem 0 sistema e como as variac;6es de seus parametros constitutivos alteram tais familias.

Ilustra-se tal fato tomando-se como base 0 chamado modelo de Lotka-Volterra, desenvolvido originalmente para estudar problemas de competic;ao entre especies em urn dado sistema ecol6gico (Engel, 1987) .

No inicio,  0 modelo foi utilizado para 0 estudo  de  duas especies,  e foi, posteriormente,  generalizado para varias delas (Schaffer &  Kot,  1986) ;  algumas consideradas presas e outras predadoras, em urn dado sistema ecol6gico com uma certa quantidade de alimento disponivel.

Aqui foram consideradas uma populac; ao de predadores, representada por Xl , e duas de presas , representadas por X_2 e X_3 . Os predadores alimentam-se das presas e estas da reserva de alimentos disponivel.      .     .       .

As populac;6es Xl , X2 e X3 e suas taxas de variac;ao Xl , X2 e X3  podem ser descritas , de acordo com 0 modelo, pelas equac;6es :

Xl = rlXl +  alZX1X2 +  a13X1X3 X2 =    r^2X^2 +  aZ^1X^1X^2 +  a^2^3X^2X^3 X3 =    r3X3 +  a^3^1X^1X3 +  a^3^2X^2X^3

(1)

Os parametros rl , r_2 e r_3 representam proporcionalidades entre a taxa de aumento de populac;ao de cada uma das especies e seus valores instantaneos.

Os parâmetros a12 e a13 são números positivos, indicam como os predadores são alimentados pelas presas das populações X2 e X3, respectivamente.

As populações de presas X2 e X3 diminuem ao serem consumidas  pelos predadores e esse fato aparece evidenciado pelos números negativos, representados pelos parâmetros a21 e a31'

Além disso, a competição pelos alimentos entre populações de presas X2 e X3 é dada pelos parâmetros negativos a23 e a32, completando o modelo.

As equações dadas em (1) são difíceis de serem resolvidas e soluções explícitas, em função do tempo, têm a sua obtenção inviabilizada.

Por isso, opta-se por traçar curvas relativas às relações entre Xlo X2 e X^3 possíveis, permitindo uma visão global das soluções e relacionando-as com os parâmetros do sistema.

Assim, nas equações (1), fixando-se r1, r2, r3, a12, a21' a23, a31 e a32 iguais a 1, ao variar a1^3 continuamente observa-se a sensibilidade a parâmetros do modelo.

As equações (1) reduzem-se a:

Xl =     Xl +  X^1X2 +   a^13X^1X3 X2 =     - Xl - X1X2 - X2X3 X^3 =      - X3 - X1X3 - X2X3

(2)

cuja simulação em computador resulta nos diagramas da Figura 1, com cada uma das coordenadas representando uma população.

Tais diagramas evidenciam a forte dependência das soluções em relação ao parâmetro a13' A figura "a" corresponde a uma oscilação auto-sustentada que evolui para trajétoria caótica (figura " e " ) , quando da variação de a13'

Essa evolução se dá através de duplicações sucessivas de períodos que apare cem nas figuras "b" (período 2), "c" (período 4) e "d" (período 8). As duplicações de períodos são chamadas bifurcações sucessivas e seu estudo, do ponto de vista

temático, está bastante sistematizado para sistemas de poucas variáveis (até três) e poucos parâmetros (até dois).

A riqueza de comportamento e a possibilidade de soluções com grande sensibilidade à condição inicial (caos), acima exemplificada, atraíram biólogos, psicólogos, sociólogos e economistas para o uso da Teoria de Bifurcações em Sistemas Dinâmicos, aplicada a problemas complexos, e muito se tem produzido nessa linha.

Nao-linearidade em Sistemas Complexos: critica e sugestao

Atualmente assim se faz a aplica9ao da Teoria de Sistemas Dinamicos aos processos relativos a Quimica, Biologia, Psicologia, Sociologia e Economia.

As revistas cientfficas contem urn sem-numero de artigos, todos muito seme lhantes . Urn  problema complexo,  urn modelo simplificado e uma simula9ao em computador variando parametros em busca de bifurca90es sucessivas. Embora esse enfoque seja interessante e tenha gerado alguns resultados importantes, suas limita- 90es sao obvias :

i) Sistemas efetivamente complexos sao estudados como superposi9aO de recordes simples, 0 que, dadas as nao-linearidades intrinsecas, compromete 0 enten dimento correto do problema.

ii) As questoes dinamicas relativas a sistemas complexos, em geral, envolvem processos que ocorrem em escalas temporais bastante diferentes .

Exemplificando, 0 estudo do ciclo vigilia- sono de uma pessoa de uma certa ida de pode ser feito pOI meio da Teoria dos Sistemas Dinamicos, pois envolve apenas 0 estudo de urn processo diario ao longo de algumas semanas de observa9ao . Entre tanto, 0 estabelecimento do mecanismo de fOIma9ao desse ciclo ao longo da vida da mesma pessoa e urn problema que requer mais cuidado,  levando em conta 0 estabelecimento de processos neurologicos com grande numero de variaveis, com dinamica propria e com escala de tempo de meses, anos ou ate mesmo decadas .

Mais complicado ainda seria considerar 0 processo da ontogenese do ciclo vigilia-sono dentro do processo evolutivo da especie humana. Nesse caso as escalas temporais seriam seculos, dezenas de seculos ou eras .

Parece, portanto, ser impossivel sonhar com uma contribui9ao efetiva da Teoria de Sistemas Dinamicos como agente transformador das ciencias complexas sem pensar em corrigir ou atenuar os dois pontos citados .

Para considerar a irreversibilidade e a complexidade, marcas inquestionaveis dos sistemas complexos , talvez fosse possivel enfocar os problemas dinamicos de sua organiza9ao pela defini9ao de parametros estatisticos , utilizando-se da Entropia Termodinamica (Coveney & Highfield, 1990) e da Entropia Informacional (Shannon & Weaver, 1971).

Dado 0 sistema formado e considerando sua entropia estavel, sua dinamica pode entao ser estudada atraves das bifurca90es . Isto e, a proposta e dividir, em principio, os problemas complexos em dois :

i) 0 primeiro, relativo a evolu9ao da forma9ao do sistema complexo atraves de variaveis estatisticamente definidas sobre 0 espa90 das grandezas fisicas .

ii) 0 segundo, relativo a evolu9ao do sistema formado atraves das famflias de solU90es possiveis sobre 0 espa90 das grandezas fisicas .

Conclusao

Este artigo tratou da apresentaQao de sugestoes para tentativas de formalizaQao de problemas relacionados com sistemas complex�s, provenientes de diversas cien cias .

A combinaQao de conceitos originarios da Termodinamica Estatistica com conceitos originarios da Mecanica Classica talvez proporcione novas maneiras de desenvolver conexoes entre a Fisica e as demais ciencias relacionadas aos niveis de organizaQao superiores.

PIQUEIRA, J. R. C. Non-linearities : from the dynamics of the simple to the dynamics of the complex. TranslFormlAr;a0, Sao Paulo, v. 17, p. 143- 1 50, 1994 .

• ABSTRACT: Some concepts rela ted to the utilization of Dynamical Systems Theory on complexsystems problems are presen ted. Using these concepts, we suggest that two dynamics can be established: a short- term one and a long-term one, and both of them are connected to the system 's organiza tion processes.

• KEYWORDS: Chaos; dynamical systems; superposition; non-linearities; bifurcation; irreversibility; complexity.

Referencias bibliogrcificas

1 COVENEY, P., HIGHFIELD, R. The arrow of time. New York: Ballantine Books, 1990.

2 ENGEL, A. B. Elementos de bioma tematica. In: Secretaria General de la Organizaci6n de los Estados Americanos . Los Alamos, USA, 1978.

3 PIQUEIRA, J. R. C. EsWbilidade estrutura1 e auto-organizar;ao. Sao Paulo: IEA/USP, 1992.

4 POINCARE, H. La methode nouvelle de 1a mecanique celeste. New York: Douver. 1957.

5 SCHAFFER, W. M., KOT, M. Differential systems in ecology and epidemiology. In: Chaos.

Princenton : Arun V. Holden; New Jersey: University Press, 1986 .

6 SHANNON, C., WEAVER, W. The mathematical theory of communication. Illinois : University of Illinois Press, 1971.

Notas

[←1]

Departamento de Engenharia Eletr6nica da Escola Politecnica - USP - 05508-900 - Sao Paulo - SP.

Table of Contents

NAO-LINEARIDADES: DA DINAMICA DO SIMPLES A DINAMICA DO COMPLEXO

Sistemas dinamicos

Nao-linearidades em Sistemas Dinamicos

Nao-linearidade em Sistemas Complexos: critica e sugestao

Conclusao

Referencias bibliogrcificas